LOGARITMOS: marzo 2013

DERIVADA E INTEGRAN INDEFINIDA

Las propiedades analíticas de las funciones pasan a sus inversas.³ Así, como f(x) = b^x es una función continua y diferenciable, también lo será log_b(y). Toscamente hablando, una función continua es diferenciable si su gráfico no tiene «trazos puntiagudos». Más aún, como la derivada de f(x) evaluada en ln(b)b^x por las propiedades de la función exponencial, la regla de la cadena implica que la derivada de log_b(x) es dada por⁴ ⁶

$\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}.$

Esto es, la pendiente de la tangente que toca el gráfico del logaritmo en base-b en el punto (x, log_b(x)) es igual a 1/(x ln(b)). En particular, la derivada de ln(x) es 1/x, lo que implica que la integral indefinida de 1/x es ln(x) + C.La derivada con un argumento funcional generalizado f(x) es

$\frac{d}{dx} \ln(f(x)) = \frac{f'(x)}{f(x)}.$

El cociente del miembro derecho es denominado derivada logarítmica de f. Calcular f'(x) por medio de la derivada de ln(f(x)) se conoce como diferenciación logarítmica.⁷ La integral indefinida del logaritmo natural ln(x) es:⁸

$\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C.$

Fórmulas relacionadas, tales como integrales indefinidas de logaritmos en otras bases pueden ser obtenidas de esta ecuación usando el cambio de bases.⁹

[editar]Representación integral del logaritmo natural

A hyperbola with part of the area underneath shaded in grey.

El logaritmo natural de t es el área sombreada bajo el gráfico de la función f(x) = 1/x (inversa de x).

Artículo principal: Logaritmo natural.

El logaritmo natural de t concuerda con la integral de 1/x dx desde 1 a t:

$\ln (t) = \int_1^t \frac{1}{x} \, dx.$

En otras palabras, ln(t) es igual al área entre el eje x y el gráfico de la función 1/x, recorrido desde x = 1 a x = t (figura a la derecha). Esto es una consecuencia del teorema fundamental del cálculo y del hecho de que la derivada de ln(x) sea 1/x. El miembro de la derecha de esta ecuación puede servir con una definición para el logaritmo natural. Las fórmulas del producto y potencias de logaritmo pueden ser obtenidas de esta definición.¹⁰ Por ejemplo, la fórmula del producto ln(tu) = ln(t) + ln(u) se deduce como:

$\ln(tu) = \int_1^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(1)} = \int_1^{t} \frac{1}{x} \, dx + \int_t^{tu} \frac{1}{x} \, dx \ \stackrel {(2)} = \ln(t) + \int_1^u \frac{1}{w} \, dw = \ln(t) + \ln(u).$

La igualdad (1) descompone la integral en dos partes, mientras que la igualdad (2) es un cambio de variable (w = x/t). En la ilustración de abajo, la descomposición corresponde a dividir el área en las partes azul y amarilla. Reescalando el área azul de la izquierda verticalmente mediante el factor t y contrayendo esta por el mismo factor horizontalmente no se cambia su tamaño. Moviéndola apropiadamente, el área de la gráfica se ajusta a la función f(x) = 1/x de nuevo. Por lo tanto, el área azul del término izquierdo, que es la integral de f(x) desde t a tu es la misma que la de la integral desde 1 a u. Esto justifica la igualdad (2) con otra demostración geométrica más.

The hyperbola depicted twice. The area underneath is split into different parts.

Una demostración visual de la fórmula del producto del logaritmo natural.

La fórmula de la potencia ln(t^r) = r ln(t) puede ser obtenida de manera similar:

$\ln(t^r) = \int_1^{t^r} \frac{1}{x}dx = \int_1^t \frac{1}{w^r} \left(rw^{r - 1} \, dw\right) = r \int_1^t \frac{1}{w} \, dw = r \ln(t).$

La segunda igualdad usa los cambios de variable (integración por sustitución), w := x^1/r.

La suma sobre los inversos de los números naturales,

$1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots + \frac 1 n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k},$

es llamada serie armónica. Está estrechamente vinculada al logaritmo natural: cuando n tiende a infinito, la diferencia,

$\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n),$

converge (i.e., se aproxima arbitrariamente cerca) a un número conocido como constante de Euler-Mascheroni. Esta relación ayuda a analizar el rendimiento de algoritmos,

FUNCION LOGARÍTMICA Y FUNCIÓN INVERSA

Función logarítmica

Para justificar la definición de logaritmos, es necesario mostrar que la ecuación

$b^x = y \,$

tiene una solución x y que esta solución es única, provista de que y es positivo y que b es positivo y distinto de 1. Una demostración de este hecho requiere del teorema del valor intermedio del cálculo elemental.³ Este teorema establece que una función continua que produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentre entre m y n. Una función es continua si esta no «salta», esto es, si su gráfico puede ser escrito sin levantar el lápiz del papel.

Esta propiedad se puede demostrar que se cumple para la función f(x) = b^x. Puesto que f toma arbitrariamente valores grandes positivos y valores pequeños positivos, cualquier número y > 0 que se encuentra entre f(x₀) y f(x₁) para un adecuado x₀ y x₁. Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuación f(x) = y tiene una solución. Más aún, hay únicamente una solución para esta ecuación, puesto que la función f es estrictamente creciente (para b > 1), o estrictamente decreciente (para 0 < b < 1).⁴

La única solución x es el logaritmo de y en la base b, log_b(y). La función que asigna a cada y su logaritmo se llama función logaritmo o función logarítmica (o logaritmo a secas).

[editar]Función inversa

Gráfico de la función logarítmica log_b(x) (azul) se obtiene mediante reflexión del gráfico de la función b^x (roja) sobre la línea diagonal (x = y).

La fórmula para el logaritmo de una potencia dice en particular que para cualquier número x,

$\log_b \left (b^x \right) = x \log_b(b) = x.$

En lenguaje llano, tomando la x-ésima potencia de b y luego el base-b logaritmo se vuelve a obtener x. De modo contrario, dado un número positivo y, la fórmula

$b^{\log_b(y)} = y$

dice que tomando primero el logaritmo y después exponenciando se vuelve a obtener y. Así, las dos maneras posibles de combinar (o componer) logaritmos y exponenciales vuelve a dar el número original. Por lo tanto, el logaritmo en base b es la función inversa de f(x) = b^x.⁵

Las funciones inversas están íntimamente relacionadas con las funciones originales. Sus gráficos se corresponden el uno con el otro mediante el intercambio de las coordenadas x e y (o por reflexión sobre la línea diagonal x = y), como se muestra en la figura de la derecha: un punto (t, u = b^t) sobre el gráfico de f proporciona un punto (u, t = log_bu) sobre el gráfico del logaritmo y viceversa. Como consecuencia, log_b(x) diverge a infinito (se hace más grande que cualquier número dado) si x tiende a infinito, siempre que b sea mayor que 1. En ese caso, log_b(x) es un función creciente. Parab < 1, log_b(x) tiende a menos infinito en lugar de a infinito. Cuando x se aproxima a cero, log_b(x) tiende a menos infinito para b > 1 (a más infinito cuando b < 1, respectivamente).

IDENTIDADES LOGARITMICAS

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

$\!\, \log_b(x y) = \log_b(x) + \log_b(y) \,$

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

$\!\, \log_b \left ( \frac{x}{y} \right ) = \log_b(x) - \log_b(y) \,$

El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

$\!\, \log_b(x ^ y) = y \log_b(x) \,$

El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

$\!\, \log_b(\sqrt[y]{x}) = \frac{\log_b(x)}{y} \,$

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:

$\!\, \sqrt[y]{x} = x^\frac{1}{y} \,$

Elección y cambio de base

Entre los logaritmos más utilizados se encuentra el logaritmo natural, cuya base es e, base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b(suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto b como k son diferentes de 1):

$\log_b(x) = \frac {\log_k(x)}{\log_k(b)} \,\!\,$

en la que k es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:

$\log_b(x) = \frac {1}{\log_x(b)} \,\!\,$

El logaritmo más ampliamente utilizado es el natural, ya que tiene multitud de aplicaciones en física, matemáticas, ingeniería y en ciencias en general. También es bastante utilizado el logaritmo decimal, que se indica como $\log(x)\,\!\,$ , en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), de intensidad de sonido (dB), de la energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces.

PROPIEDADES GENERALES

Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1; log_b b = 1 ya que b¹ = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base); log_b 1=0 ya que b⁰ = 1.

Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 < a < 1 entonces log_b a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, ya que si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También se puede demostrar usando la identidad logarítmica log_b(x/y)=log_b x - log_b y; puesto que a pertenece al intervalo 0 < a < 1, su inverso a^-1 será mayor que uno, con lo que log_b(a)=log_b(1/a^-1) = log_b 1 - log_b(a^-1)= -log_b(a^-1).

Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualesquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bⁿ será mayor que cero, bⁿ > 0; en consecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bⁿ = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los números complejos C, pudiendo calcular logaritmos de números negativos usando el logaritmo complejo o recurriendo a la fórmula de Euler.

Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión aritmética. Por ejemplo, las potencias de 2 son 1,2,4,8,16,32,64...etc y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4... etc ya que 2⁰ = 1, 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8, y 2⁴ = 16 etc. luego log₂ 1 = 0, log₂ 2 = 1, log₂ 4 = 2, log₂ 8 = 3 y log₂ 16 = 4 etc.

DEFINICIÓN

En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base de logaritmo determinada— es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3: 1000 = 10³ = 10×10×10.

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo.

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base y después el número resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Por ejemplo, 3⁵=243 luego log₃243=5. Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante — por derecho propio — que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

$\log_b(xy) = \log_b (x) + \log_b (y). \,$

La noción actual de los logaritmos viene de Leonhard Euler, quien conectó estos con la función exponencial en el siglo XVIII.

domingo, 17 de marzo de 2013